Question

6．函數(shù)f（x）=（$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$+2）（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+1）的值域是（　�。�

• A． [2+$\sqrt{2}$，8]
• B． [2+$\sqrt{2}$，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． [2+$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 容易得出f（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，并設(shè)$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=t$，兩邊平方，根據(jù)x的范圍即可求出$t∈[\sqrt{2}，2]$，且得出$\sqrt{1-{x}^{2}}+1=\frac{1}{2}{t}^{2}$，從而得出$y=\frac{1}{2}{t}^{3}+{t}^{2}$，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在$[\sqrt{2}，2]$上的符號(hào)即可判斷函數(shù)$y=\frac{1}{2}{t}^{3}+{t}^{2}$在$[\sqrt{2}，2]$上單調(diào)遞增，從而得出y的范圍，即得出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：f（x）的定義域?yàn)閇-1，1]；
設(shè)$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=t$，則$2+2\sqrt{1-{x}^{2}}={t}^{2}$；
∵-1≤x≤1；
∴0≤1-x²≤1，$0≤\sqrt{1-{x}^{2}}≤1$；
∴2≤t²≤4；
∴$\sqrt{2}≤t≤2$，且$\sqrt{1-{x}^{2}}+1=\frac{1}{2}{t}^{2}$，設(shè)y=f（x）；
∴$y=\frac{1}{2}{t}^{2}（t+2）=\frac{1}{2}{t}^{3}+{t}^{2}$；
∴$y′=\frac{3}{2}{t}^{2}+2t$，令y′=0得，$t=-\frac{4}{3}$，或0；
∴$y=\frac{1}{2}{t}^{3}+{t}^{2}$在$[\sqrt{2}，2]$上單調(diào)遞增；
∴$t=\sqrt{2}$時(shí)，y取最小值$2+\sqrt{2}$，t=2時(shí)，y取最大值8；
∴$2+\sqrt{2}≤y≤8$；
∴原函數(shù)的值域?yàn)?[2+\sqrt{2}，8]$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念及求法，換元法求函數(shù)的值域，結(jié)合二次函數(shù)的圖象求二次函數(shù)的值域，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法．