Question

15．已知點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O不在△ABC三邊所在直線上，設(shè)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=λ₁$\overrightarrow{OA}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$+λ₃$\overrightarrow{OC}$（其中λ₁∈R，i=1，2，3），則下列敘述中正確的是（　�。�
①當(dāng)λ₁=1且λ₂=λ₃=0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合
②當(dāng)λ₁+λ₂=1且λ₃=0時(shí)，點(diǎn)P在直線AB上
③當(dāng)λ₁+λ₂+λ₃=1且λ₁＞0（其中i=1，2，3）時(shí)，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)向量的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，三點(diǎn)共線的充要條件便可判斷①②敘述正確，再根據(jù)向量減法的幾何意義即可由③的條件得到$\overrightarrow{CP}={λ}_{1}\overrightarrow{CA}+{λ}_{2}\overrightarrow{CB}$，而根據(jù)條件知0＜λ₁+λ₂＜1，并且存在k＞1，使得kλ₁+kλ₂=1，并且kλ₁，kλ₂∈（0，1），$k\overrightarrow{CP}=k{λ}_{1}\overrightarrow{CA}+k{λ}_{2}\overrightarrow{CB}$，這樣便可得出點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，從而判斷敘述③正確，這樣即可得出正確的選項(xiàng)．

解答 解：①λ₁=1，λ₂=λ₃=0時(shí)，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}$$+0\overrightarrow{OB}+0\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$；
∴點(diǎn)P和A重合，該敘述正確；
②λ₁+λ₂=1，λ₃=0時(shí)，$\overrightarrow{OP}={λ}_{1}\overrightarrow{OA}+{λ}_{2}\overrightarrow{OB}$；
∴P，A，B三點(diǎn)共線；
即點(diǎn)P在直線AB上，該敘述正確；
③λ₁+λ₂+λ₃=1時(shí)，λ₃=1-λ₁-λ₂；
∴$\overrightarrow{OP}={λ}_{1}\overrightarrow{OA}+{λ}_{2}\overrightarrow{OB}+（1-{λ}_{1}-{λ}_{2}）$$\overrightarrow{OC}$
=${λ}_{1}（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}）+{λ}_{2}（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）+\overrightarrow{OC}$
=${λ}_{1}\overrightarrow{CA}+{λ}_{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{OC}$；
∴$\overrightarrow{CP}={λ}_{1}\overrightarrow{CA}+{λ}_{2}\overrightarrow{CB}$；
∵0＜λ₁+λ₂＜1；
∴存在k＞1，使k（λ₁+λ₂）=1；
如圖，設(shè)$\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{CP}=k{λ}_{1}\overrightarrow{CA}+k{λ}_{2}\overrightarrow{CB}$：

∵kλ₁+kλ₂=1，且kλ₁，kλ₂∈（0，1）；
∴D在邊AB上，不包括A，B點(diǎn)；
∴P在線段CD上，且不包括C，D兩點(diǎn)；
∴點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，即該敘述正確；
∴敘述正確個(gè)數(shù)為3．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查向量、向量加法、減法及向量數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件：$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，且x+y=1．