Question

6．設(shè)銳角△ABC的外接圓為圓Γ，過點(diǎn)B，C作圓Γ的兩條切線交于點(diǎn)P，鏈接AP與BC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，AB上，使得DE∥BA，DF∥CA．證明：F，B，C，E四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 欲證明F，B，C，E四點(diǎn)共圓，只要證明AF•AB=AE•AC，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明$\frac{BD}{CD}$=$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$．

解答 證明：欲證明F，B，C，E四點(diǎn)共圓，只要證明AF•AB=AE•AC．
∵DE∥BA，DF∥CA，
∴AF=DE=AB$•\frac{CD}{BC}$，AE=DF=AC•$\frac{BD}{BC}$，
于是只要證明$\frac{BD}{CD}$=$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$．
注意到∠ABP=180°-∠ACB，∠ACP=180°-∠ABC，
則$\frac{BD}{CD}$=$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$=$\frac{\frac{1}{2}AB•BP•sin∠ABP}{\frac{1}{2}AC•CP•sin∠ACP}$=$\frac{ABsin（180°-∠ACB）}{ACsin（180°-∠ABC）}$=$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$．得證，
∴F，B，C，E四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共圓的證明，考查三角形面積的計(jì)算，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．