Question

9．若曲線f（x）=f′（2）lnx-f（1）x+2x，在點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））處的切線為l，則l在y軸上的截距為-2ln2-2．

Answer 1

分析 可令x=1，求得f（1）=1，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令x=2，求得f′（2）=2，即可得到切線的斜率和切點(diǎn)，再令x=0，可得l在y軸上的截距．

解答 解：由f（x）=f′（2）lnx-f（1）x+2x，可得
f（1）=-f（1）+2，解得f（1）=1；
f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{f′（2）}{x}$-f（1）+2=$\frac{f′（2）}{x}$+1，
由x=2，可得f′（2）=1+$\frac{1}{2}$f′（2），
解得f′（2）=2，
即有f（x）=2lnx+x，f′（x）=1+$\frac{2}{x}$，
可得f（$\frac{1}{2}$）=-2ln2+$\frac{1}{2}$，f′（$\frac{1}{2}$）=5，
即有切線的方程為y-（-2ln2+$\frac{1}{2}$）=5（x-$\frac{1}{2}$），
令x=0，可得y=-2ln2+$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{2}$=-2ln2-2．
故答案為：-2ln2-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查函數(shù)解析式的求法，注意運(yùn)用賦值法，屬于中檔題．