Question

9．設函數(shù)f（x）=ae^x+bx²（a＞0，b∈R），且f′（lna）=2lna+a²b．
（Ⅰ）求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）若直線y=x+1是函數(shù)y=f（x）圖象的一條切線，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，由條件可得a，b的方程，即可解得b=1；
（Ⅱ）設切點為（m，n），求出導數(shù)，由切線方程，可得切線的斜率，得到m，n的方程，通過消元，得到m的方程，解得m，進而得到a．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ae^x+bx²的導數(shù)為f′（x）=ae^x+2bx，
由f′（lna）=2lna+a²b，即為ae^lna+2blna=2lna+a²b，
即（b-1）（a²-2lna）=0，（由a²-2lna≥1）
解得b=1；
（Ⅱ）由于f′（x）=ae^x+2x，
設切點為（m，n），則切線的斜率為ae^m+2m，
由直線y=x+1是函數(shù)y=f（x）圖象的一條切線，
則ae^m+2m=1，n=1+m，n=ae^m+m²，
即有3m=m²，
解得m=0或3，
當m=0時，可得a=1，
當m=3時，ae³=-5，解得a＜0舍去．
即有a=1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，主要考查導數(shù)的幾何意義，正確求導和設出切點是解題的關鍵．