Question

17．某校舉辦校園科技文化藝術(shù)節(jié)，在同一時(shí)間安排《生活趣味數(shù)學(xué)》和《校園舞蹈賞析》兩場(chǎng)講座．已知A、B兩學(xué)習(xí)小組各有5位同學(xué)，每位同學(xué)在兩場(chǎng)講座任意選聽(tīng)一場(chǎng)．若A組1人選聽(tīng)《生活趣味數(shù)學(xué)》，其余4人選聽(tīng)《校園舞蹈賞析》；B組2人選聽(tīng)《生活趣味數(shù)學(xué)》，其余3人選聽(tīng)《校園舞蹈賞析》．
（1）若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽(tīng)《校園舞蹈賞析》的概率；
（2）若從A、B兩組中各任選2人，設(shè)X為選出的4人中選聽(tīng)《生活趣味數(shù)學(xué)》的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨(dú)立事件與古典概率計(jì)算公式即可得出．
（2）X可能的取值為0，1，2，3，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出概率、分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)“選出的3人中恰2人選聽(tīng)《校園舞蹈賞析》”為事件M，
則$P（M）=\frac{C_7^2C_3^1}{{C_{10}^3}}=\frac{21}{40}$，
答：選出的3人中恰2人選聽(tīng)《校園舞蹈賞析》的概率為$\frac{21}{40}$．…（3分）
（2）X可能的取值為0，1，2，3，$P（X=0）=\frac{C_4^2C_3^2}{C_5^2C_5^2}=\frac{9}{50}$，$P（X=1）=\frac{C_1^1C_4^1C_3^2+C_4^2C_2^1C_3^1}{C_5^2C_5^2}=\frac{12}{25}$，$P（X=3）=\frac{C_1^1C_4^1C_2^2}{C_5^2C_5^2}=\frac{1}{25}$，
故$P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）=\frac{3}{10}$．
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{9}{50}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{25}$

…（8分）
所以X的數(shù)學(xué)期望$E（X）=0×\frac{9}{50}+1×\frac{12}{25}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{25}=\frac{6}{5}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．