Question

12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a²+c²+$\sqrt{2}$ac=b²，sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（1）求sinC的值；
（2）若a=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理可得B，再利用和差公式即可得出．
（2）利用正弦定理可得c，再利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）由a²+c²+$\sqrt{2}$ac=b²，∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{3π}{4}$．
∵sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，A為銳角，∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴sinC=sin$（\frac{3π}{4}+A）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}cosA$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{3\sqrt{10}}{10}-\frac{\sqrt{10}}{10}）$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，∴c=$\frac{2×\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=2．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．