【題目】已知函數(shù),為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
(1)若,函數(shù)在處的切線方程為,求a、的值;
(2)若曲線上存在兩條互相平行的切線,其傾斜角為銳角,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)0<a<1.
【解析】
(1)對(duì)F′(x)=lnx+x﹣ax2,由切點(diǎn)為(1,﹣1),斜率為﹣2,可得和F′(1)=-2,聯(lián)立解得a,b即可.
(2)令h(x)=f′(x)=lnx+x﹣ax2,(x>0),h′(x)=+1﹣2ax= ,令u(x)=﹣2ax2+x+1,對(duì)a≤0和a>0時(shí)兩種情況分別討論,即可求出.
(1)F(x)=xln x-x+x2-ax3+b,F(xiàn)′(x)=ln x+x-ax2,∵切點(diǎn)為(1,-1),切線斜率為k=-2,∴∴a=3,b=.
所以
(2) f′(x)=lnx+x﹣ax2,令h(x)=f′(x)=lnx+x﹣ax2,(x>0),
h′(x)=+1﹣2ax=,
令u(x)=﹣2ax2+x+1,
當(dāng)a≤0時(shí),u(x)>0,∴h′(x)>0,h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不適合題意,舍去.
當(dāng)a>0時(shí),u(x)的△=1+8a>0,設(shè)方程u(x)=0的兩根分別為x1,x2,
∵x1x2=﹣<0,不妨設(shè)x1<0<x2,當(dāng)x∈(0,x2)時(shí),h′(x)>0,當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),h′(x)<0.
∴h(x)在x∈(0,x2)時(shí)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),h(x)單調(diào)遞減.
∴,得到,
由①可得:代入②整理可得2lnx2+x2﹣1>0③.
∵函數(shù)v(x)=2lnx+x﹣1在(0,+∞)上單調(diào)遞增,v(1)=0,
∴x2>1,由①可得,
∵,∴0<2a<2,∴0<a<1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某書店剛剛上市了《中國(guó)古代數(shù)學(xué)史》,銷售前該書店擬定了5種單價(jià)進(jìn)行試銷,每種單價(jià)(元)試銷l天,得到如表單價(jià)(元)與銷量(冊(cè))數(shù)據(jù):
單價(jià)(元) | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
銷量(冊(cè)) | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(l)根據(jù)表中數(shù)據(jù),請(qǐng)建立關(guān)于的回歸直線方程:
(2)預(yù)計(jì)今后的銷售中,銷量(冊(cè))與單價(jià)(元)服從(l)中的回歸方程,已知每?jī)?cè)書的成本是12元,書店為了獲得最大利潤(rùn),該冊(cè)書的單價(jià)應(yīng)定為多少元?
附:,,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),,點(diǎn)滿足,記點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程;
(2)設(shè)直線與交于、兩點(diǎn),求的面積(為坐標(biāo)原點(diǎn));
(3)設(shè)是線段中垂線上的動(dòng)點(diǎn),過作的兩條切線、,、分別為切點(diǎn),判斷是否存在定點(diǎn),直線始終經(jīng)過點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩地的高速公路全長(zhǎng)166千米,汽車從甲地進(jìn)入該高速公路后勻速行駛到乙地,車速(千米/時(shí)).已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分為,固定部分為220元.
(1)把全程運(yùn)輸成本(元)表示為速度(千米/時(shí))的函數(shù),并指出這個(gè)函數(shù)的定義域;
(2)汽車應(yīng)以多大速度行駛才能使全程運(yùn)輸成本最。孔钚∵\(yùn)輸成本為多少元?(結(jié)果保留整數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定:機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí),應(yīng)當(dāng)減速慢行;遇行人正在通過人行橫道,應(yīng)當(dāng)停車讓行,俗稱“禮讓斑馬線”,《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》 第90條規(guī)定:對(duì)不禮讓行人的駕駛員處以扣3分,罰款50元的處罰.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
違章駕駛員人數(shù) | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份之間的回歸直線方程+
(2)預(yù)測(cè)該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù);
(3)交警從這5個(gè)月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查了50人,調(diào)查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關(guān)系,得到如下2列聯(lián)表:
不禮讓斑馬線 | 禮讓斑馬線 | 合計(jì) | |
駕齡不超過1年 | 22 | 8 | 30 |
駕齡1年以上 | 8 | 12 | 20 |
合計(jì) | 30 | 20 | 50 |
能否據(jù)此判斷有97.5的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)?
參考公式及數(shù)據(jù):,.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(其中n=a+b+c+d)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中,AB=AC,平面BB1C1C⊥底面ABCD,點(diǎn)M、F分別是線段AA1、BC的中點(diǎn).
(1)求證:AF⊥DD1;
(2)求證:AF∥平面MBC1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),令,其導(dǎo)函數(shù)為,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),判斷是否為的零點(diǎn)?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已如橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,為上的動(dòng)點(diǎn).
(1)若,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,試用解析式將表示成的函數(shù);
(2)試根據(jù)的不同取值,討論滿足為等腰銳角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.若樣本的平均數(shù)為5,標(biāo)準(zhǔn)差為1,則樣本的平均數(shù)為11,標(biāo)準(zhǔn)差為2
B.身高和體重具有相關(guān)關(guān)系
C.現(xiàn)有高一學(xué)生30名,高二學(xué)生40名,高三學(xué)生30名,若按分層抽樣從中抽取20名學(xué)生,則抽取高三學(xué)生6名
D.兩個(gè)變量間的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的值越大
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