Question

1．一個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面所截，切去一部分，得到一個(gè)幾何體，其三視圖如圖所示，則截面面積為（　�。�

• A． $\sqrt{141}$
• B． 2$\sqrt{141}$
• C． 16$\sqrt{6}$
• D． 4$\sqrt{141}$

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，以及截面是平行四邊形，由勾股定理求出邊長(zhǎng)、對(duì)角線的長(zhǎng)，由余弦定理和平方關(guān)系，求出截面一個(gè)內(nèi)角的正弦值，由三角形的面積公式求出截面的面積．

解答 解：根據(jù)幾何體的三視圖得：且E、F分別是棱的中點(diǎn)，
該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：AB=5、AD=4、CP=4，被平面AFPE分成兩部分，
∵E、F分別是棱的中點(diǎn)，
∴截面AFPE是平行四邊形，
PE=$AF=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，PF=AE=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
EF=DB=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
在△AEF中，由余弦定理得cos∠EAF=$\frac{A{E}^{2}+A{F}^{2}-E{F}^{2}}{2•AE•AF}$
=$\frac{29+20-41}{4\sqrt{5}•\sqrt{29}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{29}}$=$\frac{2}{\sqrt{145}}$，
∴sin∠EAF=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠EAF}$=$\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{145}}$，
∴截面AFPE面積S=$2×\frac{1}{2}•AE•AF•sin∠EAF$
=$\sqrt{29}×2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{145}}$=$2\sqrt{141}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的三視圖，余弦定理、平方關(guān)系，三角形的面積公式等，由三視圖正確判斷幾何體結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．