Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)A（4，1），P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA|+|PF|的取值范圍是（　�。�

• A． [10-$\sqrt{65}$，10+$\sqrt{65}$]
• B． [2，18]
• C． [$\frac{13}{5}$，9+$\sqrt{82}$]
• D． [10-$\sqrt{65}$，10]

Answer 1

分析 設(shè)F′是橢圓的左焦點(diǎn)，F(xiàn)′（-4，0）．可得|AF′|．由橢圓的定義可得|PF|+|PF′|=2a，于是|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF′|，利用三角形三邊大小關(guān)系即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)F′是橢圓的左焦點(diǎn)，F(xiàn)′（-4，0）．
∴|AF′|=$\sqrt{{8}^{2}+1}$=$\sqrt{65}$．
∵|PF|+|PF′|=2a=10，
∴|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF′|≤2a+|AF′|=10+$\sqrt{65}$．
又∴|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF′|=2a-（|PF′|-|PA|）≥10-|AF′|=$10-\sqrt{65}$．
∴|PA|+|PF|的取值范圍是$[10-\sqrt{65}，10+\sqrt{65}]$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形三邊大小關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．