Question

20．如圖，已知邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC=60°．將菱形ABCD沿對角線PA折起得到三棱錐D-ABC，設二面角D-AC-B的大小為θ．
（1）當θ=90°時，求異面直線AD與BC所成角的余弦值；
（2）當θ=60°時，求直線AD與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由折疊后的不變量可知，∠DOB為二面角的平面角，然后通過取中點的辦法，得到異面直線所成的角，再通過解三角形得答案．
（2）在折疊后的圖形中，作出線面角，然后通過解直角三角形得答案．

解答 解：由題意可知二面角D-AC-B的平面角為∠DOB，即∠DOB=θ．
（1）當θ=90°時，即∠DOB=90°，分別取DC，BD的中點M，N，連結OM，MN，ON，
∵OM∥AD，MN∥BC，
∴∠OMN為異面直線AD與BC所成的角或其補角，
在△OMN中，OM=2，MN=2，$ON=\sqrt{6}$，
∴$cos∠OMN=\frac{1}{4}$，
即異面直線AD與BC所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．
（2）當θ=60°時，即∠DOB=60°，
由題意可知AC⊥平面DOB，△DOB為等邊三角形，
取OB的中點H，則有DH⊥平面ABC，且DH=3，即直線AD與平面ABC所成的角為∠DAH，
∴$sin∠DAH=\frac{DH}{DA}=\frac{3}{4}$，
即直線AD與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了異面直線所成角、線面角及二面角的求法，考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．