7．關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根的充要條件是ac＜0．

分析 根據(jù)韋達(dá)定理，先判斷出“一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”能推出“ac＜0”成立，反之再由韋達(dá)定理，判斷出“ac＜0”成立能推出“一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”，利用充要條件的有關(guān)定義得到結(jié)論．

解答 解：若“一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”成立，
由韋達(dá)定理可得，x1x2=$\frac{c}{a}$＜0，
所以ac＜0成立，
反之，若“ac＜0”成立，
此時(shí)一元二次方程ax2+bx+c=0的△＞0，此時(shí)方程有兩個(gè)不等的根
由韋達(dá)定理可得，x1x2=$\frac{c}{a}$＜0，
即方程兩個(gè)根的符號(hào)相反，
即一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根
所以“一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”是“ac＜0”的充要條件，
故答案為：ac＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是必要條件、充分條件與充要條件的判斷，一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△符號(hào)的關(guān)系，及韋達(dá)定理，其中分別判斷命題A⇒命題B與命題B⇒命題A的真假，是解答本題的關(guān)鍵．

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