Question

16．若x滿足$\sqrt{2}$cos（$\frac{3π}{4}$-x）=m，-π≤x≤π，為使?jié)M足條件的x的值：
（1）存在；
（2）有且只有一個；
（3）有兩個不同的值；
（4）有三個不同的值．
分別求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m∈[-1，1]，再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象的特征，求出各種情況下m的取值范圍．

解答 解：∵$\sqrt{2}$cos（$\frac{3π}{4}$-x）=m，即 cos（x-$\frac{3π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}m$，即 cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m．
根據(jù)-π≤x≤π，可得x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，故cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m∈[-1，1]．
（1）若使?jié)M足條件的x的值存在，則m∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．
（2）若使?jié)M足條件的x的值有且只有一個，則-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m=±1，求得m=±$\sqrt{2}$．
（3）若使?jié)M足條件的x的值有2個，則-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），求得m∈（-$\sqrt{2}$，1）．
（4）若使?jié)M足條件的x的值有3個，則-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得m=1．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．