Question

【題目】如圖,在斜三棱柱中,底面為正三角形,面⊥面, ,

.

(1)求異面直線與所成角的余弦值;

(2)設為的中點,求面與面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）與所成角的余弦值為0. （2）

【解析】試題分析：（1）可設，取的中點，連接，先證明，再由面面垂直的性質可得，因此兩兩互相垂直．以為坐標原點， 為正交基底，建立空間直角坐標系，分別求出， ，可得，從而得異面直線與所成角的余弦值；（2）利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組，分別求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用空間向量夾角的余弦公式可得面與面所成角的余弦值，進而可得正弦值.

試題解析：不妨設，取的中點，連接，

因為底面為正三角形，則，且，

因為，所以，

又因為 面面，面面 ， 面，

所以，因此兩兩互相垂直．以為坐標原點， 為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

，

，

（1）由已知得， ，

又，即，所以，

所以與所成角的余弦值為0.

（2）由已知得， ，設平面的法向量

則，即，令，則

即平面一個法向量；

又， ，設平面的法向量，則

，即，令，則

即平面一個法向量；

又，記面與面所成的角為， ，則

，所以

所以，面與面所成角的正弦值為 .

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求二面角，利用空間向量求異面直線所成的角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.