Question

在平面直角坐標(biāo)中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)第．設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，中心為（3，0），一個(gè)焦點(diǎn)在直角坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的直角坐標(biāo)方程，并化為極坐標(biāo)方程；
（2）當(dāng)橢圓的過直角坐標(biāo)原點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度為

640

91

時(shí)，求弦所在直線的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由題意可得，c=3，a=5，b=4，進(jìn)而得到橢圓的直角坐標(biāo)方程，注意中心在（3，0），再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入化簡(jiǎn)即可得到極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)橢圓的過直角坐標(biāo)原點(diǎn)的弦的方程為：y=kx，則代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到k，進(jìn)而得到直線方程．

解答： 解：（1）由于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，中心為（3，0），
則a=5，2c=6，則c=3，
即有b²=a²-c²=16，
則橢圓方程為：

(x-3)2

25

+

y2

16

=1，
再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
則有ρ²（16+9cos²θ）-96ρcosθ-256=0；
（2）設(shè)橢圓的過直角坐標(biāo)原點(diǎn)的弦的方程為：y=kx，
則代入橢圓方程，得，16（x-3）²+25k²x²=400，
即有（16+25k²）x²-96x-256=0，設(shè)交點(diǎn)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

96

16+25k2

，x₁x₂=-

256

16+25k2

，
由于弦長(zhǎng)為：

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( 96 16+25k2 )2+ 1024 16+25k2

=

640

91

，
解得，k=±

3

，
則弦所在直線的直角坐標(biāo)方程為：y=±

3

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，由于韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．