Question

設點P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上異于頂點的任意點，作△PF₁F₂的左、右旁切圓，與x軸的切點為D，則點D（　　）

• A、在橢圓內
• B、在橢圓外
• C、在橢圓上
• D、以上都有可能

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先作出一個旁切圓（如左切圓），設圓與x軸（即線段F₂F₁的延長線）相切于點C，與線段F₂P的延長線相切于點D，與線段PF₁相切于點E，根據(jù)圖形的幾何特征，并利用橢圓定義，及圓的切線性質，得CF₂=a+c，從而可確定C點的位置，同理可得其它兩個旁切圓與x軸相切時切點的位置．

解答： 解：如圖1所示，△PF₁F₂的一個旁切圓與x軸（即線段F₂F₁的延長線）相切于點C，
與線段F₂P的延長線相切于點D，與線段PF₁相切于點E．
由橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a，
由圓的切線性質，得|F₂D|=|F₂C|，|PD|=|PE|，|CF₁|=|EF₁|，
于是|F₂C|=|F₂D|=|F₂P|+|PD|=2a-|F₁P|+|PD|=2a-（|F₁P|-|PD|）
=2a-（|F₁P|-|PE|）=2a-|EF₁|=2a-CF₁=a+（a+|CF₁|）=a+c．
故切點C為橢圓的左頂點．
同理，旁切圓與x軸相切時切點的位置為橢圓的右頂點，如圖2所示．
故選C．

點評：本題考查了橢圓的定義及圓的切線的性質，關鍵是將各線段的長度進行轉化．求解時應注意以下常見結論：
（1）若P為橢圓上任意一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點，則|PF₁|+|PF₂|=2a；
（2）從圓外一點M向圓引切線，設切點分別為A，B，則|MA|=|MB|；
（3）橢圓焦點到對應頂點的距離等于a-c，焦點到另一焦點對應頂點的距離等于a+c．