Question

10．在數(shù)列{a_n}中，
（1）已知a₁=1，a_n+1-a_n=2，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）已知a₁=1，且na_n=（n+1）a_n-1（n≥2），試求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）易知數(shù)列{a_n}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列，進而計算可得結論；
（2）通過na_n=（n+1）a_n-1（n≥2）可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n}$、$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n}{n-1}$、…、$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{3}$、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{2}$，累乘計算即得結論．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）∵na_n=（n+1）a_n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n}$（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n}{n-1}$，
…
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{3•4•…•n•（n+1）}{2•3•…•（n-1）•n}$=$\frac{n+1}{2}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{n+1}{2}$•a₁=$\frac{n+1}{2}$，
又∵當n=1時滿足上式，
∴a_n=$\frac{n+1}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．