Question

【題目】已知函數(shù)的圖象與軸的交點至少有一個在原點右側(cè)．

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）令，求的值（其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，)；

（3）對（2）中的求函數(shù)的值域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）分和兩種情況討論，在時進行驗證即可，在時，由可分二次函數(shù)有且只有一個零點且為正零點、一個正零點和一個負零點、兩個正零點三種情況進行分類討論，由此可得出實數(shù)的取值范圍；

（2）求出，可得出，然后分和兩種情況討論，根據(jù)定義得出的值；

（3）分、、三種情況討論，在時代入函數(shù)的解析式計算即可，在時，利用函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)的值域，在時，考查，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來得出值域，由此可得出函數(shù)的值域.

（1）①若，則，令，得，此時，函數(shù)只有一個正零點，合乎題意；

②若，由于.

（i）若函數(shù)有且只有一個零點且為正數(shù)，則，解得；

（ii）若函數(shù)有一個正零點和一個負零點，則，解得；

（iii）若函數(shù)有兩個正零點時，則，解得.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；

（2），.

當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時.

因此，；

（3）.

①當(dāng)時，;

②當(dāng)時，，，則單調(diào)遞增，此時；

③當(dāng)時，設(shè)，則，，

此時，在上單調(diào)遞增，則.

設(shè)，

則.

當(dāng)時，；當(dāng)且時，，數(shù)列單調(diào)遞增，；

設(shè)，當(dāng)且，數(shù)列單調(diào)遞增，

當(dāng)時，.

所以，當(dāng)時，函數(shù)的值域為.

綜上所述，函數(shù)的值域為.