Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-e²，試判斷f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 利用單調(diào)性的證題步驟：取值，作差，變形，定號(hào)，下結(jié)論即可證明函數(shù)f（x）=x²-e²在（0，+∞）上的單調(diào)性，再判斷（-∞，0）的單調(diào)性．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²-e²，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)．
設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=x₁²-e²-（x₂²-e²）=（x₁-x₂）（x₁+x₂）
①函數(shù)f（x）=x²-e²在（0，+∞）上單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
因?yàn)閤₁，x₂∈（0，+∞），所以 x₁+x₂＞0
又因?yàn)閤₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0
所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）
所以函數(shù)f（x）=x²-e²在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
②設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)f（x）=x²-e²在（-∞，0）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握定義是關(guān)鍵，正確分解因式，判斷符號(hào)．