Question

12．平面直角坐標系xoy中，直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求直線l與圓C的極坐標方程；
（2）直線l與圓C交于A、B兩點，求弓形AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）由三種方程的關(guān)系易得；
（2）可得A（2，0）、B（-1，$\sqrt{3}$）∠AOB=150°，由扇形和三角形的面積易得弓形面積．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ρcosθ=-\sqrt{3}t}\\{ρsinθ=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$，消去t可得$\sqrt{3}$ρsinθ+ρcosθ=2；
∵圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，
∴圓C的極坐標方程為ρ=2；
（2）由題意易得直線l的直角坐標方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），
圓C的直角坐標方程為x²+y²=4，聯(lián)立方程可解得直線l與圓C交于A（2，0）、B（-1，$\sqrt{3}$）兩點，
∴易得∠AOB=150°，∴弓形AOB的面積S=$\frac{150}{360}$×4π-$\frac{1}{2}×2×2×$sin150°=$\frac{5π}{3}$-1

點評 本題考查參數(shù)方程和普通方程以及極坐標方程，涉及三角形和弓形的面積，屬基礎(chǔ)題．