Question

4．已知a+2b=2，a＞0，b＞0，則$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}$的最小值是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 a+2b=2，a＞0，b＞0，可得b=$\frac{2-a}{2}$＞0，解得0＜a＜2．于是$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}$=$\frac{1}{2a}+\frac{4a}{2-a}$=f（a），利用導(dǎo)數(shù)研究其極值與最值即可得出．

解答 解：∵a+2b=2，a＞0，b＞0，
∴b=$\frac{2-a}{2}$＞0，解得0＜a＜2．
則$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}$=$\frac{1}{2a}+\frac{4a}{2-a}$=f（a），
f′（a）=$\frac{5（3a+2）（a-\frac{2}{5}）}{2（{a}^{2}-2a）^{2}}$，
當(dāng)0$＜a＜\frac{2}{5}$時，f′（a）＜0，此時函數(shù)f（a）單調(diào)遞減；當(dāng)$\frac{2}{5}＜a＜2$時，f′（a）＞0，此時函數(shù)f（a）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)a=$\frac{2}{5}$$（b=\frac{4}{5}）$時，函數(shù)f（a）取得極小值即最小值，
$f（\frac{2}{5}）$=$\frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}$．
∴$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}$的最小值是$\frac{9}{4}$．
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．