【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)的值;
(2)若,對任意有恒成立,求實數(shù)取值范圍;
(3)設(shè),若,問是否存在實數(shù)使函數(shù)在上的最大值為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1) (2) (3)不存在,理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)定義域為R且為奇函數(shù)可知, 代入即可求得實數(shù)的值.
(2)由(1)可得函數(shù)的解析式,并判斷出單調(diào)性.根據(jù)將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式,結(jié)合時不等式恒成立,即可求得實數(shù)取值范圍;
(3)先用表示函數(shù).根據(jù)求得的解析式,根據(jù)單調(diào)性利用換元法求得的值域.結(jié)合對數(shù)的定義域,即可求得的取值范圍.根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可判斷在的取值范圍內(nèi)能否取到最大值0.
(1)函數(shù)的定義域為R,且為奇函數(shù)
所以,即
解得
(2)由(1)可知當(dāng)時,
因為,即
解不等式可得
所以在R上單調(diào)遞減,且
所以不等式可轉(zhuǎn)化為
根據(jù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減
所不等式可化為
即不等式在恒成立
所以恒成立
化簡可得
由打勾函數(shù)的圖像可知,當(dāng)時,
所以
(3)不存在實數(shù).理由如下:
因為
代入可得,解得或(舍)
則,
令,易知在R上為單調(diào)遞增函數(shù)
所以當(dāng)時, ,
則
根據(jù)對數(shù)定義域的要求,所以滿足在上恒成立
即在上恒成立
令,
所以,即
又因為
所以
對于二次函數(shù),開口向上,對稱軸為
因為
所以
所以對稱軸一直位于的左側(cè),即二次函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增
所以,
假設(shè)存在滿足條件的實數(shù),則:
當(dāng)時, 由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法,可知為減函數(shù),所以根據(jù)可知,即
解得,所以舍去
當(dāng)時, 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可知為增函數(shù),所以根據(jù)可知,即
解得,所以舍去
綜上所述,不存在實數(shù)滿足條件成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出函數(shù)如下表,則f〔g(x)〕的值域為( )
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
g(x) | 1 | 1 | 3 | 3 |
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 4 | 3 | 2 | 1 |
A. {4,2} B. {1,3} C. {1,2,3,4} D. 以上情況都有可能
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某糧油超市每月按出廠價30元/袋購進(jìn)種大米,根據(jù)以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù),若零售價定為42元/袋,每月可銷售320袋.現(xiàn)為了促銷,經(jīng)調(diào)查,若零售價每降低一元,則每月可多銷售40袋.在每月的進(jìn)貨都銷售完的前提下,零售價定為多少元/袋以及每月購進(jìn)多少袋大米,超市可獲得最大利潤,并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù),且.
(1)若,求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在(1)的條件下,設(shè)函數(shù),若在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)使得函數(shù)在[-1,4]上的最大值是4?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點P,Q分別為A1B1,BC的中點.
(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;
(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個命題:
① 函數(shù)與函數(shù)表示同一個函數(shù).
② 奇函數(shù)的圖象一定過直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點.
③ 函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到.
④ 若函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為.
其中正確命題的序號是_________ (填上所有正確命題的序號) .
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