Question

如圖，已知拋物線y²=2px（p＞0）上點（2，a）到焦點F的距離為3，直線l：my=x+t（t≠0）交拋物線C于A，B兩點，且滿足OA⊥OB．圓E是以（-p，p）為圓心，p為直徑的圓．
（1）求拋物線C和圓E的方程；
（2）設(shè)點M為圓E上的任意一動點，求當(dāng)動點M到直線l的距離最大時的直線方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由焦點弦的性質(zhì)可得2+

p

2

=3，解得p，即可得出；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立方程

y2=4x my=x+t

，可得根與系數(shù)的關(guān)系．利用OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，可得t=-4，故直線AB過定點N（4，0）．由于當(dāng)MN⊥l，動點M經(jīng)過圓心E（-2，2）時到直線l的距離d取得最大值．即可得出．

解答： 解：（1）由題意得2+

p

2

=3，得p=2，
∴拋物線C和圓E的方程分別為：y²=4x；
（x+2）²+（y-2）²=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立方程

y2=4x my=x+t

，
整理得y²-4my+4t=0，
由韋達(dá)定理得

y1+y2=4m y1y2=4t

…①
則x1x2=(my1-t)(my2-t)=m2y1y2-mt(y1+y2)+t2，
由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，
即（m²+1）y₁y₂-mt（y₁+y₂）+t²=0，
將 ①代入上式整理得t²+4t=0，
由t≠0得t=-4．
故直線AB過定點N（4，0）．
∴當(dāng)MN⊥l，動點M經(jīng)過圓心E（-2，2）時到直線l的距離d取得最大值．
由k_MN=

2-0

-2-4

=-

1

3

，得k_l=3．
此時的直線方程為l：y=3（x-4），即3x-y-12=0．

點評：本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、點到直線的距離公式、直線的方程，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．