Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax+2．
（1）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若a＞-e時，函數(shù)g（x）=e^x-xf′（x）在[

1

2

，3]上有最大值e³，其中f′（x）的導(dǎo)數(shù)，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值；（2）由（1）得到函數(shù)的解析式，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的值．

解答： 解：（1）由f′（x）=

1-ax

x

，（x＞0），
由a＞0得，當(dāng)x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（

1

a

，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

1

a

）遞增，在（

1

a

，+∞）遞減，
∴f（x）_極大值=f（

1

a

）=-lna+1，沒有極小值；
（2）由（1）得：g（x）=e^x-xf′（x）=e^x+ax-1，則g′（x）=e^x+a，
①當(dāng)a≥-

e

時，由

1

2

≤x≤3得g′（x）≥0，g（x）在[

1

2

，3]上遞增，
此時g（x）max=g（3），令g（3）=e³+3a-1=e³，解得：a=

1

3

，符合題意；
②當(dāng)-e＜a＜-

e

時，
由g′（x）＜0得

1

2

＜x＜ln（-a），∴函數(shù)g（x）在[

1

2

，3]上遞減，
∴g（x）≤g（

1

2

）=

e

+

1

2

a-1＜

e

-

1

2

e

-1＜e³，不合題意，
由g′（x）＞0得ln（-a）＜x≤ln3，∴g（x）在（ln（-a），3]遞增，
∴在區(qū)間（ln（-a），3]上，g（x）≤g（3）=e³+3a-1＜e³-3

e

-1＜e³，不合題意，
綜上，a的值是

1

3

．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)的極值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了分類討論思想，是一道中檔題．