Question

19．方程2^x•x²=1的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 令f（x）=2^x•x²-1，求出f（x）的單調(diào)性和極值，根據(jù)極值的大小判斷f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：令f（x）=2^x•x²-1，則f′（x）=x•2^x（2+x•ln2），
令f′（x）=0得x=0或x=-$\frac{2}{ln2}$．
當(dāng)x＜-$\frac{2}{ln2}$或x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)-$\frac{2}{ln2}$＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{2}{ln2}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{2}{ln2}$，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴當(dāng)x=-$\frac{2}{ln2}$時(shí)，f（x）取得極大值f（-$\frac{2}{ln2}$）=$\frac{4}{{e}^{2}l{n}^{2}2}$-1＞0，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極小值f（0）=-1＜0，
∴f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，即2^x•x²=1有3個(gè)根．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性，極值與函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．