Question

9．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+b（x≠0），其中a，b∈R．
（Ⅰ）若f′（1）=9，f（x）的圖象過點（2，7），求f（x）的解析式；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當a＞2時，求f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1），求出a的值，將點（2，7）代入函數(shù)表達式，求出b的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）根據(jù)a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=1-\frac{a}{x^2}$，f'（1）=1-a=9，∴a=-8，
∵f（x）圖象過點（2，7），
∴$2+\frac{a}{2}+b=2-4+b=7$，
∴b=9，f（x）解析式為$f（x）=x-\frac{8}{x}+9$．-------（4分）
（Ⅱ） $f'（x）=1-\frac{a}{x^2}$
當a≤0時，顯然f′（x）＞0（x≠0），
這時f（x）在（-∞，0），（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；
當a＞0時，令f′（x）=0，解得：x=±$\sqrt{a}$，
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-$\sqrt{a}$）	-$\sqrt{a}$	（-$\sqrt{a}$，0）	（0，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以f（x）在區(qū)間（-∞，-$\sqrt{a}$]，[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-$\sqrt{a}$，0），$（0，\sqrt{a}]$上是減函數(shù)．----------------（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當a＞0時，f（x）在（0，$\sqrt{a}$）內(nèi)是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
若$\sqrt{a}＜2$即2＜a＜4時，f（x）在$[1，\sqrt{a}]$內(nèi)是減函數(shù)，在$[\sqrt{a}，2]$內(nèi)是增函數(shù)，
f（x）最大值為f（1），f（2）的中較大者，
$f（1）-f（2）=1+a+b-2-\frac{a}{2}-b=\frac{a}{2}-1$＞0，
∴當2＜a＜4時，f（x）_max=f（1）=1+a+b，
若$\sqrt{a}≥2$即a≥4時，f（x）在[1，2]上遞減，
f（x）_max=f（1）=1+a+b，
綜上，a＞2時，f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值f（x）_max=f（1）=1+a+b．------（12分）

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．