【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2(tanA+tanB)=
(1)證明:a+b=2c;
(2)求cosC的最小值.

【答案】
(1)

證明:由2(tanA+tanB)= 得:

;

∴兩邊同乘以cosAcosB得,2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+sinB;

∴2sin(A+B)=sinA+sinB;

即sinA+sinB=2sinC(1);

根據(jù)正弦定理, ;

, ,帶入(1)得: ;

∴a+b=2c;


(2)

解:a+b=2c;

∴(a+b)2=a2+b2+2ab=4c2;

∴a2+b2=4c2﹣2ab,且4c2≥4ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào);

又a,b>0;

∴由余弦定理, =

∴cosC的最小值為


【解析】(1)由切化弦公式 ,帶入 并整理可得2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+cosB,這樣根據(jù)兩角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC,從而根據(jù)正弦定理便可得出a+b=2c;
(2)根據(jù)a+b=2c,兩邊平方便可得出a2+b2+2ab=4c2 , 從而得出a2+b2=4c2﹣2ab,并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab,也就得到了 ,這樣由余弦定理便可得出 ,從而得出cosC的范圍,進(jìn)而便可得出cosC的最小值.
考查切化弦公式,兩角和的正弦公式,三角形的內(nèi)角和為π,以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,正余弦定理,不等式a2+b2≥2ab的應(yīng)用,不等式的性質(zhì).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握正弦定理:;余弦定理:;;

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出下列4個(gè)判斷:

①若fx)=x2-2ax[1,+∞)上增函數(shù),則a=1;

②函數(shù)fx)=2x-x2只有兩個(gè)零點(diǎn);③函數(shù)y=2|x|的最小值是1;

④在同一坐標(biāo)系中函數(shù)y=2xy=2-x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

其中正確命題的序號(hào)是( 。

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2(a∈R).

(1)如果函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)g(x)的解析式;

(2)若不等式2f(x)≤+2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx)=,其中c為常數(shù),且函數(shù)fx)的圖象過原點(diǎn).

(1)求c的值,并求證:f)+fx)=1;

(2)判斷函數(shù)fx)在(-1,+∞)上的單調(diào)性,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在[﹣1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x﹣5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列說法中,正確的是______(填上所有符合條件的序號(hào))

①y=e-x在R上為增函數(shù)

②任取x>0,均有3x>2x

③函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a可能有兩個(gè)交點(diǎn)

④y=2|x|的最小值為1;

⑤與y=3x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的函數(shù)為y=log3x.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù),其中

)若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

)求函數(shù)的極值.

)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2(cos θ+sin θ).

(1)求C的直角坐標(biāo)方程;

(2)直線l (t為參數(shù))與曲線C交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)E,求|EA|+|EB|.

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同步練習(xí)冊(cè)答案