Question

【題目】已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，過A，B作準線的垂線交準線與P，Q兩點．R是PQ的中點．

（1）證明：以PQ為直徑的圓恒過定點F．

（2）證明：AR∥FQ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）求得拋物線的焦點F，設直線l的方程為x=my+，聯(lián)立拋物線方程，設A（，y1），B（，y2），運用韋達定理，求得拋物線的準線方程，可得P，Q，R的坐標，

求得，，由向量垂直的條件，即可得證；

（2）設AR的斜率為k1，FQ的斜率為k2，運用直線的斜率公式和兩直線平行的條件，以及韋達定理，即可得證．

證明：（1）拋物線C：y2=2x的焦點F（，0），設直線l的方程為x=my+，

聯(lián)立拋物線方程可得y2-2my-1=0，

設A（，y1），B（，y2），則y1+y2=2m，y1y2=-1，

拋物線的準線方程為x=-，可得P（-，y1），Q（-，y2），R（-，），

則=（1，-y1），=（1，-y2），可得=1+y1y2=1-1=0，

即PF⊥QF，以PQ為直徑的圓恒過定點F；

（2）設AR的斜率為k1，FQ的斜率為k2，

則k2==-y2，

k1=====-y2，

即k1=k2，

則AR∥FQ．