Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}-1$}是等比數(shù)列
（2）記b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的和為S_n，求證：S_n＜$\frac{1}{3}$
（3）是否存在成等差數(shù)列且互不相等的三個(gè)正整數(shù)m、s、r，使得a_m-1、a_s-1、a_r-1成等比數(shù)列，若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的正整數(shù)m、s、r，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件兩邊取倒數(shù)，再由等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$，求得b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（1+{2}^{n}）（1+{2}^{n+1}）}$=$\frac{1}{1+{2}^{n}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n+1}}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，即可得證；
（3）假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)m，s，r滿(mǎn)足條件，則有$\left\{\begin{array}{l}{m+r=2s}\\{（{a}_{s}-1）^{2}=（{a}_{m}-1）（{a}_{r}-1）}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)整理，再由基本不等式即可判斷．

解答 解：（1）證明：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，可得
$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2{a}_{n}}$，即有$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$，
即為$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}-1$}是首項(xiàng)為$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（2）證明：由（1）可得，$\frac{1}{{a}_{n}}-1$=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
即有a_n=$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$，
則b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（1+{2}^{n}）（1+{2}^{n+1}）}$=$\frac{1}{1+{2}^{n}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n+1}}$，
即有前n項(xiàng)的和為S_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{1+{2}^{n}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{1+{2}^{n+1}}$＜$\frac{1}{3}$．
即有S_n＜$\frac{1}{3}$；
（3）由（2）知，a_n=$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$，
假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)m，s，r滿(mǎn)足條件，
則有$\left\{\begin{array}{l}{m+r=2s}\\{（{a}_{s}-1）^{2}=（{a}_{m}-1）（{a}_{r}-1）}\end{array}\right.$，
可得$\frac{1}{（1+{2}^{s}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{2}^{m}}$•$\frac{1}{1+{2}^{r}}$，
化簡(jiǎn)可得1+2^2s+2^s+1=1+2^m+r+2^m+2^r，
即為2^s+1=2^m+2^r，
由2^m+2^r≥2$\sqrt{{2}^{m}•{2}^{r}}$=2$\sqrt{{2}^{m+r}}$=2•2^s=2^s+1，
當(dāng)且僅當(dāng)m=r時(shí)等號(hào)成立，
這與m，s，r互不相等矛盾．
所以不存在互不相等的正整數(shù)m，s，r滿(mǎn)足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查構(gòu)造法的運(yùn)用，以及數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，存在性問(wèn)題的解法，屬于中檔題．