a
=(cosα,(λ-1)sinα),
b
=(cosβ,sinβ),(λ>0,0<α<β<
π
2
)是平面上的兩個向量,若向量
a
+
b
a
-
b
互相垂直.
(1)求實數(shù)λ的值;
(2)若
a
b
=
4
5
,且tanβ=
4
3
,求tan(α-
π
4
)的值.
考點:兩角和與差的正切函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用
專題:三角函數(shù)的求值,平面向量及應用
分析:(1)由向量的垂直的條件和題意列出方程,再由向量的數(shù)量積運算進行化簡求值;
(2)由向量的數(shù)量積運算、兩角差的余弦公式化簡
a
b
=
4
5
,求出cos(α-β),再由同角三角函數(shù)的基本關系求出sin(α-β)、tan(α-β),兩角和的正切公式求出tanα和tan(α-
π
4
).
解答: 解:(1)由題意得,(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=0,則
a
2
-
b
2
=0
,
a
=(cosα,(λ-1)sinα),
b
=(cosβ,sinβ)代入上式得,
cos2a+(λ-1)2sin2α-cos2β-sin2β=0,
化簡得,(λ-1)2sin2α-sin2α=0,
因為λ>0,0<α<
π
2
,所以(λ-1)2-1=0,解得λ=2;
(2)由(1)知,
a
b
=(cosα,sinα)•(cosβ,sinβ)
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=
4
5

因為0<α<β<
π
2
,所以-
π
2
<α-β<0,
所以sin(α-β)=-
1-cos2(α-β)
=-
3
5
,
則tan(α-β)=
sin(α-β)
cos(α-β)
=-
3
4
,
所以tanα=tan[(α-β)+β]=
tan(α-β)+tanβ
1-tan(α-β)tanβ
=
-
3
4
+
4
3
1-(-
3
4
4
3
=
7
24
,
則tan(α-
π
4
)=
tanα-tan45°
1+tanαtan45°
=
7
24
-1
1+
7
24
=-
17
31
點評:本題考查向量的垂直的條件,向量的數(shù)量積運算,平方關系,兩角和的正切公式的應用,注意角之間關系的靈活變形,以及角的范圍的確定,屬于中檔題.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)不等式sinx≥
3
2
的解集是
 
,
(2)不等式
2
+2cos2x≥0的解集是
 
,
(3)不等式1+tan
x
3
≥0的解集是
 

(4)不等式tanx≥
3
的解集是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)定義域(-1,1],滿足f(x)+1=
1
f(x+1)
,當x∈[0,1]時,f(x)=x,若函數(shù)g(x)=
f(x),-1<x≤1
1
2
|x2-5x+6|,
1<x≤3
,方程g(x)-mx-2m=0有三個實根,則實數(shù)m的取值范圍是( 。
A、
1
36
≤m<
1
3
B、
1
36
<m<1
C、
9-4
5
2
≤m<
1
3
D、
9-4
5
2
<m<
1
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知|a|<1,|b|<1,求證:|
1-ab
a-b
|>1.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù).f(x)=2sinxcosx+sin2x-cos2x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間;
(2)將f(x)的圖象向左平移
π
8
個單位長度,然后縱坐標不變,橫坐標縮短到原來的
1
2
倍,可得到函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的對稱軸;
(3)若f(-
α
2
)=-
3
3
,α∈(0,π),求cos2α的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

曲線y=exlnx在x=1處的切線方程是(  )
A、y=2e(x-1)
B、y=ex-1
C、y=x-e
D、y=e(x-1)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
=(3,4),
b
=(-1,2m),
c
=(m,-4),滿足
c
⊥(
a
+
b
)
,則m=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

k是直線l的斜率,θ是直線l的傾斜角,若30°<θ<90°,則k的取值范圍是( 。
A、0<k<
3
3
B、
3
3
<k<1
C、k>
3
3
D、k<
3
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若loga2=m,loga3=π,其中a>0,且a≠1,則am+n=
 

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