Question

等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆，設(shè)b_n=log

1

3

a_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè){b_n}的前n項和為S_n，求數(shù)列{

1

Sn

}（n∈N^*）的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列的公比q，由a₃²=9a₂a₆，利用等比數(shù)列的通項公式化簡后得到關(guān)于q的方程，由各項都為正數(shù)得到滿足題意q的值，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式化簡2a₁+3a₂=1，把求出的q的值代入即可求出等比數(shù)列的首項，再求出a_n、b_n；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）得到的bn求出{b_n}的前n項和為S_n，再表示出

1

Sn

并進行裂項，代入數(shù)列{

1

Sn

}（n∈N^*）的前n項和T_n，各項相消后在化簡．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₃²=9a₂a₆得a₃²=9a₄²，所以q²=

1

9

，
由條件可知各項均為正數(shù)，所以q=

1

3

，
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=

1

3

所以數(shù)列{a_n}的通項式為a_n=

1

3

•

1

3n-1

=

1

3n

，
則b_n=log

1

3

a_n=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，S_n=1+2+3+…+n=

n(1+n)

2

，
所以

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
所以T_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．

點評：本題考查靈活運用等比數(shù)列的通項公式化簡求值，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項和的公式，會運用裂項相消法求數(shù)列的和，是一道中檔題．