Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，P點在以AD為直徑的半圓弧上運動（不包括端點）
（Ⅰ）證明：PA⊥PC；
（Ⅱ）當二面角P─BC─D達到最大值時，求直線AD與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得AP⊥PD，CD⊥AP，從而AP⊥平面PCD，由此能證明AP⊥PC．
（Ⅱ）當P點運動到圓弧的最高點（圓弧中心）時，二面角P─BC─D最大，作DO⊥PC，交點為O，∠DAO即為直線AD與平面PAC所成夾角，由此能求出直線AD與平面PAC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵p點在圓弧上，∴AP⊥PD
又∵PAD⊥平面ABCD，CD⊥交線AD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AP
由以上兩點可知：AP⊥平面PCD
∴AP⊥PC．
（Ⅱ）解：當P點運動到圓弧的最高點（圓弧中心）時，
二面角P─BC─D最大，
作DO⊥PC，交點為O，
∵AP⊥平面PCD，∴AP⊥DO
∴DO⊥平面PAC，
∴∠DAO即為直線AD與平面PAC所成夾角，
PD=

2

，
∵平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，
∴在直角△PDC中可得，DO=

2

3

，
∴sin∠DAO=

DO

AD

=

6

6

，
∴直線AD與平面PAC所成角的正弦值為

6

6

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．