Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=3，AC=BC=2，D為AB中點(diǎn)，E為BB₁上一點(diǎn)，且

BE

EB1

=λ．
（Ⅰ）當(dāng)λ=

2

7

時(shí)，求證：CE⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）若直線CE與平面A₁DE所成的角為30°，求λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，證明

CE

•

C1A1

=0，

CE

•

C1D

=0，即可證明CE⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）求出平面A₁DE的一個(gè)法向量，直線CE的向量，根據(jù)直線CE與平面A₁DE所成的角為30°，利用向量的夾角公式，即可求λ的值．

解答： （Ⅰ）證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（2，0，3），B₁（0，2，3），C₁（0，0，3），D（1，1，0），
∵λ=

2

7

，∴E(0，2，

2

3

)，
∴

CE

=(0，2，

2

3

)…（3分）
又

C1A1

=(2，0，0)，

C1D

=(1，1，-3)
∴

CE

•

C1A1

=0，

CE

•

C1D

=0，
∴CE⊥平面A₁C₁D；…（6分）
（Ⅱ）解：由題知E(0，2，

3λ

1+λ

)，

CE

=(0，2，

3λ

1+λ

)，

A1D

=(-1，1，-3)，

DE

=(-1，1，

3λ

1+λ

)，
∴平面A₁DE的一個(gè)法向量為

n

=(3+

3λ

1+λ

，3+

3λ

1+λ

，0)…（9分）
∴|

n • CE

| n || CE |

|=

1

2

即

2(3+ 3λ 1+λ )

4+( 3λ 1+λ )2 • 2 (3+ 3λ 1+λ )

=

1

2

解得λ=2．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查直線與平面所成的角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，確定向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵．