Question

記函數(shù)f_n(x)=(1+x)ⁿ-1(n≥2,n∈N^*)的導(dǎo)函數(shù)為f '_n(x),函數(shù)g(x)=f_n(x)-nx.

(Ⅰ)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(Ⅱ)若實(shí)數(shù)x₀和正數(shù)k滿足:,求證:0<x₀<k. 

Answer 1

　(Ⅰ)由已知得,g(x)=f_n(x)-nx=(1+x)ⁿ-1-nx,∴g'(x)=n[(1+x)^n-1-1].
①當(dāng)n≥2且n是偶數(shù)時(shí),n-1是奇數(shù),

由g'(x)>0,得x>0;由g'(x)<0,得x<0.

∴函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是(-∞,0),遞增區(qū)間是(0,+∞),

故函數(shù)g(x)的極小值為g(0)=0,沒有極大值.

②當(dāng)n≥2且n是奇數(shù)時(shí),n-1是偶數(shù),

由g'(x)>0,得x<-2或x>0;由g'(x)<0,得-2<x<0.

∴函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間是(-∞,-2),(0,+∞),遞減區(qū)間是(-2,0),

故函數(shù)g(x)的極大值為g(-2)=2n-2,極小值為g(0)=0.
 (Ⅱ)易知f '_n(x)=n(1+x)^n-1,由得:,

∴1+x₀=,

x₀=,

顯然(n+1)[(1+k)ⁿ-1]>0,

設(shè)h(k)=(nk-1)(1+k)ⁿ+1(k>0),

則h'(k)=n(1+k)ⁿ+n(1+k)^n-1·(nk-1)=n(n+1)·k(1+k)^n-1>0.

∴h(k)是(0,+∞)上的增函數(shù),∴h(k)>h(0)=0.

故x₀>0.
又x₀-k=,由(1)知,g(x)=(1+x)ⁿ-1-nx是(0,+∞)上的增函數(shù),

故當(dāng)x>0時(shí),g(x)>g(0)=0,即(1+x)ⁿ>1+nx,

∴(1+k)ⁿ⁺¹>1+(n+1)k,∴x₀-k<0,x₀<k.

綜上所述,0<x₀<k.