Question

8．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)為f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（x+3）為偶函數(shù)，f（6）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)和已知即可得出其單調(diào)性．再利用函數(shù)的對(duì)稱性和已知可得g（0）=1，從而求得不等式f（x）＜e^x的解集．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}=\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．
∴函數(shù)g（x）是R上的減函數(shù)，
∵函數(shù)f（x+3）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（-x+3）=f（x+3），
∴函數(shù)關(guān)于x=3對(duì)稱，
∴f（0）=f（6）=1，
原不等式等價(jià)為g（x）＜1，
∴不等式f（x）＜e^x等價(jià)g（x）＜1，即g（x）＜g（0），
∵g（x）在R上單調(diào)遞減，
∴x＞0．
∴不等式f（x）＜e^x的解集為（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．