Question

18．某市為了了解今年高中畢業(yè)生的體能狀況，從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個(gè)班進(jìn)行鉛球測(cè)試，成績(jī)?cè)?.0米（精確到0.1米）以上的為合格．把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成6組畫(huà)出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知從左到右前5個(gè)小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小組的頻數(shù)是7．
（1）求這次鉛球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)；
（2）若從今年的高中畢業(yè)生中隨機(jī)抽取兩名，記X表示兩人中成績(jī)不合格的人數(shù)，求n的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，甲成績(jī)?cè)?～10米之間，乙成績(jī)?cè)?.5～10.5米之間，現(xiàn)甲、乙各投擲一次，求甲比乙投擲遠(yuǎn)的概率．

Answer 1

分析 （1）求解第6小組的頻率，既而得出此次測(cè)試總?cè)藬?shù)，第4、5、6組成績(jī)均合格，運(yùn)用頻率求解即可．
（2）運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式求解得出X=0，1，2，的概率即得出分布列，數(shù)學(xué)期望．
（3）設(shè)甲、乙各投擲一次的成績(jī)分別為x、T_n米，則基本事件滿(mǎn)足的區(qū)域畫(huà)圖求解即可，運(yùn)用幾何概率求解甲比乙投擲遠(yuǎn)的概率．

解答 解：（1）第6小組的頻率為1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴此次測(cè)試總?cè)藬?shù)為$\frac{7}{0.14}$=50（人）．
∴第4、5、6組成績(jī)均合格，人數(shù)為（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）
即這次鉛球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)為36
（2）X=0，1，2，此次測(cè)試中成績(jī)不合格的概率為$\frac{14}{50}$=$\frac{7}{25}$，
∴X～B（2，$\frac{7}{25}$）．
P（X=0）=（$\frac{18}{25}$）²=$\frac{324}{625}$，
P（X=1）=C${\;}_{2}^{1}$（$\frac{7}{25}$）（$\frac{18}{25}$）=$\frac{252}{625}$，
P（X=2）=（$\frac{7}{25}$）²=$\frac{49}{625}$．
所求分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{324}{625}$	$\frac{252}{625}$	$\frac{49}{625}$

E（x）=2×$\frac{7}{25}$       兩人中成績(jī)不合格的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為$\frac{14}{25}$
（3）設(shè)甲、乙各投擲一次的成績(jī)分別為x、T_n米，則基本事件滿(mǎn)足的區(qū)域?yàn)?br />${d_n}={（-1）^n}{c_n}{c_{n+1}}$，
事件A“甲比乙投擲遠(yuǎn)的概率”滿(mǎn)足的區(qū)域?yàn)閤＞y，如圖所示．

∴由幾何概型P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{1×2}$=$\frac{1}{16}$．
即甲比乙投擲遠(yuǎn)的概率為$\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖，概率分布問(wèn)題，閱讀實(shí)際問(wèn)題的能力，數(shù)中檔題，關(guān)鍵判斷概率的類(lèi)型，掌握好公式．