Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=ta_n-t，n∈N^*，t∈R．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，求t的取值范圍和此時數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若t=2，且2^b_n=a_2n-1，證明：{b_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推式與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用（I）可得b_n，再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）解：（�。┊攏=1時，由S_n=ta_n-t，①，得a₁=S₁=ta₁-t，
由數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，知t≠1且t≠0，此時${a_1}=\frac{t}{t-1}$，
（ⅱ）當n≥2時，S_n-1=ta_n-1-t，②，①-②得：S_n-S_n-1=t（a_n-a_n-1）=a_n，
即（t-1）a_n=ta_n-1，∵t≠1且t≠0，
∴${a_n}=\frac{t}{t-1}{a_{n-1}}$，結(jié)合${a_1}=\frac{t}{t-1}$，知等比數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}={（\frac{t}{t-1}）^n}$，t的取值范圍是t≠1且t≠0．
（Ⅱ）證明：當t=2時，由（Ⅰ）得${a_n}={2^n}$，∴${2^{b_n}}={a_{2n-1}}={2^{2n-1}}$，得b_n=2n-1，
從而b_n+1-b_n=2，即數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，
∴${a_n}{b_n}=（2n-1）{2^n}$，
${T_n}=1×2+3×{2^2}+5×{2^3}+…+（2n-1）{2^n}$③
$2{T_n}=1×{2^2}+3×{2^3}+5×{2^4}+…+（2n-1）{2^{n+1}}$④
③-④得$-{T_n}=2+{2^3}+{2^4}+…+{2^{n+1}}-（2n-1）{2^{n+1}}=2+\frac{{{2^3}（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（2n-1）{2^{n+1}}$，
整理得${T_n}=（2n-3）{2^{n+1}}+6$．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．