Question

15．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為AA₁的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：直線AE∥平面BDC₁；
（2）若三棱柱 ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，AB=2，AA₁=4，求平面BDC₁與平面ABC所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BC₁的中點(diǎn)為F，連接EF，DF．得到EF是△BCC₁中位線，說明EF∥DA，ADFE是平行四邊形，推出AE∥DF，即可證明直線AE∥平面BDC₁．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面BDC₁的一個(gè)法向量，平面ABC的一個(gè)法向量．設(shè)平面BDC₁和平面ABC所成二面角的大小為θ，通過向量的數(shù)量積求解平面BDC₁和平面ABC所成二面角的正弦值即可．

解答 解：（1）證明：設(shè)BC₁的中點(diǎn)為F，連接EF，DF．
則EF是△BCC₁中位線，根據(jù)已知得EF∥DA，且 EF=DA．
∴四邊形ADFE是平行四邊形∴AE∥DF，
∵DF?平面BDC₁，AE?平面BDC₁，
∴直線AE∥平面BDC₁．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
由已知得$B（{0，0，0}），D（{0，2，2}），{C_1}（{\sqrt{3}，1，4}）$．∴$\overrightarrow{BD}=（{0，2，2}），\overrightarrow{B{C_1}}=（{\sqrt{3}，1，4}）$．
設(shè)平面BDC₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
則$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{BD}，\overrightarrow n⊥\overrightarrow{B{C_1}}$．∴$\left\{\begin{array}{l}2y+2z=0\\ \sqrt{3}x+y+4z=0\end{array}\right.$，
取z=-1，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\\ y=1\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，1，-1}）$是平面BDC₁的一個(gè)法向量．
由已知易得$\overrightarrow m=（{0，0，1}）$是平面ABC的一個(gè)法向量．
設(shè)平面BDC₁和平面ABC所成二面角的大小為θ，
則$|{cosθ}|=|{\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}}|=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．∵0＜θ＜π，∴$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
∴平面BDC₁和平面ABC所成二面角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的二面角的大小，直線與平面平行的判斷，考查計(jì)算能力以及空間想象能力．