Question

4．已知數(shù)列{$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$}．
（1）求這個數(shù)列的第10項；
（2）$\frac{98}{101}$是不是該數(shù)列中的項，為什么？
（3）求證：數(shù)列中的各項都在區(qū)間（0，1）內；
（4）在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）內有無數(shù)列中的項？若有，有幾項？若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令n=10即可得出；
（2）假設$\frac{98}{101}$=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$，化為9n²-303n+9=0，解得n即可判斷出；
（3）化簡a_n=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=1-$\frac{9n-3}{9{n}^{2}-1}$，可得9n²-1＞9n-3＞0，因此$0＜\frac{9n-3}{9{n}^{2}-1}＜1$，即可證明；
（4）令f（x）=$\frac{9{x}^{2}-9x+2}{9{x}^{2}-1}$=1-$\frac{9x-3}{9{x}^{2}-1}$．（x≥1）．利用導數(shù)研究其單調性即可判斷出．

解答 （1）解：a₁₀=$\frac{9×1{0}^{2}-9×10+2}{9×1{0}^{2}-1}$=$\frac{812}{899}$=$\frac{28}{31}$．
（2）解：假設$\frac{98}{101}$=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$，化為9n²-303n+9=0，解得n=$\frac{100}{3}$，n=$\frac{1}{3}$．
因此$\frac{98}{101}$不是該數(shù)列中的項．
（3）證明：a_n=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=1-$\frac{9n-3}{9{n}^{2}-1}$，
∵9n²-1-（9n-3）=9n²-9n+2=9$（n-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$≥9×1²-9×1+2=2，
∴9n²-1＞9n-3＞0，
∴$0＜\frac{9n-3}{9{n}^{2}-1}＜1$，
∴0＜1-$\frac{9n-3}{9{n}^{2}-1}$＜1．
∴a_n∈（0，1）．
（4）解：令f（x）=$\frac{9{x}^{2}-9x+2}{9{x}^{2}-1}$=1-$\frac{9x-3}{9{x}^{2}-1}$．（x≥1）．
f′（x）=-$\frac{9（9{x}^{2}-1）-（9x-3）×18x}{（9{x}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{9（3x-1）^{2}}{（9{x}^{2}-1）^{2}}$＞0，
因此函數(shù)f（x）在x≥1時單調遞增．
又f（1）=$\frac{2}{8}$=$\frac{1}{4}$，f（2）=$\frac{4}{7}$，f（3）=$\frac{7}{10}$．
∵$\frac{1}{4}$$＜\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}＜\frac{4}{7}$$＜\frac{2}{3}$，$\frac{7}{10}＞\frac{2}{3}$．
∴在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）內只有數(shù)列中的一項，為a₂=$\frac{4}{7}$．

點評 本題考查了數(shù)列的單調性、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．