Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)：與直線(xiàn)：交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，且.

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）線(xiàn)段的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，若直線(xiàn)，分別與直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求斜率的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)量積求出參數(shù)的值即可得到所求方程．（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后再求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線(xiàn)，的方程，于是得到的坐標(biāo)，最后根據(jù)可求出斜率的值．

（1）由消去整理得，

∵直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，

∴，解得或（舍去）．

設(shè)，，則，

∴，

∵，

∴，解得，符合題意．

∴拋物線(xiàn)方程為：．

（2）由（1）得，

∴，，

∴，

∴，中點(diǎn)為．

設(shè)過(guò)點(diǎn)斜率為的直線(xiàn)方程為，即，

由消去整理得，

其中，故．

設(shè)，，

則，，

直線(xiàn)的方程為，令，得，

∴，

同理得，

∴，

解得，滿(mǎn)足題意．

∴斜率的值為．