Question

6．設(shè)a為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）•g（x）的極值；
（2）證明：?x₀∈R，使得當(dāng)x＞x₀時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立．

Answer 1

分析 （1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）先求出當(dāng)直線和y=lnx相切時(shí)a的取值，然后進(jìn)行討論求解即可．

解答 解：（1）h（x）=ax•lnx，（a＞0），
則h′（x）=a（lnx+1），
令h′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
令h′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
∴h（x）_極小值=h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{a}{e}$，無極大值；
（2）g（x）=lnx，f（x）=ax，（x＞0），（a＞0）
則g′（x）=$\frac{1}{x}$，當(dāng)g（x）與f（x）相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（m，lnm），
則切線斜率k=$\frac{1}{m}$，
則過原點(diǎn)且與g（x）相切的切線方程為y-lnm=$\frac{1}{m}$（x-m）=$\frac{1}{m}$x-1，
即y=$\frac{1}{m}$x-1+lnm，
∵g（x）=ax，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}=a}\\{-1+lnm=0}\end{array}\right.$，得m=e，a=$\frac{1}{e}$．
即當(dāng)a＞$\frac{1}{e}$時(shí)，ax＞lnx恒成立．
當(dāng)a=$\frac{1}{e}$時(shí)，當(dāng)x₀≥$\frac{1}{e}$時(shí)，
要使ax＞lnx恒成立．得當(dāng)x＞x₀時(shí)，ax＞lnx恒成立．
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，g（x）與f（x）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，不妨設(shè)較大的根為x₁，當(dāng)x₀≥x₁時(shí)，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，ax＞lnx恒成立．
∴?a＞0，?x₀∈R，使得當(dāng)x＞x₀時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．