Question

15．拋物線C：x²=2y的焦點(diǎn)是F，M是拋物線C上任意一點(diǎn)，過(guò)M，F(xiàn)，O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）三點(diǎn)的圓的圓心為Q，若直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為M$（±\sqrt{2}，1）$．

Answer 1

分析 F$（0，\frac{1}{2}）$，設(shè)M$（t，\frac{{t}^{2}}{2}）$，直線OM的斜率為$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{t}$=$\frac{t}{2}$，線段OM的中點(diǎn)，可得線段OM的垂直平分線方程為：y-$\frac{{t}^{2}}{4}$=$-\frac{2}{t}$$（x-\frac{t}{2}）$，與線段OF的垂直平分線聯(lián)立可得圓心：Q$（\frac{{t}^{2}+2t-1}{4}，\frac{1}{4}）$．另一方面：對(duì)拋物線C：x²=2y求導(dǎo)可得：y′=x，可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的拋物線的切線方程為：$y-\frac{{t}^{2}}{2}$=t（x-t），把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入解出即可得出．

解答 解：F$（0，\frac{1}{2}）$，設(shè)M$（t，\frac{{t}^{2}}{2}）$，O（0，0）．
直線OM的斜率為$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{t}$=$\frac{t}{2}$，線段OM的中點(diǎn)：$（\frac{t}{2}，\frac{{t}^{2}}{4}）$，
∴線段OM的垂直平分線方程為：y-$\frac{{t}^{2}}{4}$=$-\frac{2}{t}$$（x-\frac{t}{2}）$，與線段OF的垂直平分線：y=$\frac{1}{4}$聯(lián)立可得圓心：Q$（\frac{{t}^{2}+2t-1}{4}，\frac{1}{4}）$．
對(duì)拋物線C：x²=2y求導(dǎo)可得：y′=x，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的拋物線的切線方程為：$y-\frac{{t}^{2}}{2}$=t（x-t），
把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入可得：t⁴-t²-2=0，
解得t²=2，∴t=$±\sqrt{2}$，
可得點(diǎn)M$（±\sqrt{2}，1）$．
故答案為：$（±\sqrt{2}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．