Question

16．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F₂作垂直于x軸的直線MF₂交橢圓于M，設(shè)|MF₂|=d．
（1）證明：b²=ad；
（2）若M的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，1），求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）x=c代入橢圓方程求得y，進(jìn)而求得d，可知d×a=b²，原式得證；
（2）由M坐標(biāo)可得c，再把M再把代入橢圓方程求得a和b的關(guān)系，結(jié)合隱含條件得到a和b的方程組，求得a，b，則橢圓的方程可求．

解答 （1）證明：把x=c代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得${y}^{2}=^{2}（1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}）=\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，
則d=|y|=$\frac{^{2}}{a}$，
∴d×a=b²，即b²=ad；
（2）解：∵M(jìn)的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，1），∴c=$\sqrt{2}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=2}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得b²=2，a²=4．
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，等比數(shù)列的性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力，是中檔題．