Question

18．拋物線：x²=2py（p＞0）內接Rt△OAB（O為坐標原點）的斜邊為AB，點O到直線AB的距離的最大值為（　�。�

• A． 2p
• B． p
• C． $\frac{p}{2}$
• D． $\frac{p}{4}$

Answer 1

分析 當直線AB∥x軸時，由拋物線的對稱性可取直線OA：y=x，與拋物線方程聯(lián)立可得：A（2p，2p），B（-2p，2p）．此時直線經(jīng)過定點G（0，2p）．下面證明：直線AB經(jīng)過定點G（0，2p）．設直線AB的方程為：y=kx+b，（b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立化為：x²-2pkx-2pb=0，由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，把根與系數(shù)的關系代入即可得出b=2p．

解答 解：當直線AB∥x軸時，由拋物線的對稱性可取直線OA：y=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，解得A（2p，2p），同理可得B（-2p，2p）．
此時直線經(jīng)過定點G（0，2p）．
下面證明：直線AB經(jīng)過定點G（0，2p）．
設直線AB的方程為：y=kx+b，（b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，
化為：x²-2pkx-2pb=0，
△＞0．
∴x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2pb．
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=-2pb（1+k²）+2k²b²+b²
=-2pb+b²=0，
∴b=2p．
∴直線AB經(jīng)過定點G（0，2p）．
∵當直線AB不垂直y軸時，點O到直線AB的距離d＜2p．
因此：點O到直線AB的距離的最大值為2p．
故選：A．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題、向量垂直與向量數(shù)量積運算性質的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．