Question

13．已知函數(shù)y=x²lnx．
（1）求這個(gè)函數(shù)的圖象在x=1處的切線方程；
（2）若過點(diǎn)（0，0）的直線l與這個(gè)函數(shù)圖象相切，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，即可得到所求切線的方程；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，m²lnm），可得切線的斜率，以及切線的方程，代入原點(diǎn)，解方程可得m，進(jìn)而得到切線的斜率和切線l的方程．

解答 解：（1）函數(shù)y=x²lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=2xlnx+x，
函數(shù)的圖象在x=1處的切線斜率為2ln1+1=1，
切點(diǎn)為（1，0），
可得切線的方程為y-0=x-1，
即為y=x-1；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，m²lnm），
可得切線的斜率為2mlnm+m，
即有切線的方程為y-m²lnm=（2mlnm+m）（x-m），
由于直線l過（0，0），可得-m²lnm=（2mlnm+m）（-m），
由m＞0，可得-lnm=-2lnm-1，
即為lnm=-1，解得m=$\frac{1}{e}$，
可得切線的斜率為-$\frac{1}{e}$，
則切線l的方程為y=-$\frac{1}{e}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，注意區(qū)別“在某點(diǎn)處”和“過某點(diǎn)”的切線，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用直線方程是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．