Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且短軸長為2，O為坐標原點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+$\sqrt{2}$與橢圓交于A、B兩點，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）短軸的長求得b，進而根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，則a和b的關(guān)系可求得，最后根據(jù)b求得a，則橢圓的方程可得；
（2）設(shè)出A，B的坐標，把直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，由直線方程和韋達定理，可得y₁y₂，進而根據(jù)斜率的數(shù)量積的坐標表示和$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$得k的關(guān)系式，解方程可得k的值．

解答 解：（1）短軸長2b=2，即b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又a²=b²+c²，所以a=$\sqrt{2}$，b=1，
所以橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由直線l的方程為y=kx+$\sqrt{2}$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去y得，（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$kx+2=0，
由直線與橢圓有兩個不同的交點，
即有△＞0，即32k²-8（1+2k²）＞0，
解得k²＞$\frac{1}{2}$，
又x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+$\sqrt{2}$）（kx₂+$\sqrt{2}$）=k²x₁x₂+$\sqrt{2}$k（x₁+x₂）+2=$\frac{2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{4-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
解得k=±1．

點評 不同考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，考查直線的斜率的求法，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和向量的數(shù)量積的坐標表示，考查化簡運算能力，屬于中檔題．