Question

2．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4，離心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C在第一象限的-點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點(diǎn)A，B．求證：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），由長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4，離心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由橢圓$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，得P（1，$\sqrt{2}$），設(shè)PA的直線方程為y-$\sqrt{2}$=k（x-1），與橢圓聯(lián)立，得（2+k²）x²+2k（$\sqrt{2}-k$）x+（$\sqrt{2}-k$）²-4=0，設(shè)A（x_A，x_B），B（x_B，y_B），求出x_A，同理，求出x_B，由此能證明直線AB的斜率為定值．

解答 解：（1）∵橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，
∴設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∵長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4，離心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{2a=4}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
證明：（2）由橢圓$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，得P（1，$\sqrt{2}$），
由題意知兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PA的斜率為k，
則PA的直線方程為y-$\sqrt{2}$=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{2}=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（2+k²）x²+2k（$\sqrt{2}-k$）x+（$\sqrt{2}-k$）²-4=0，
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），則x_P=1，x_A=$\frac{{k}^{2}-2\sqrt{2}k-2}{2+{k}^{2}}$，
同理，得${x}_{B}=\frac{{k}^{2}+2\sqrt{2}k-2}{2+{k}^{2}}$，
則x_B-x_A=$\frac{4\sqrt{2}k}{2+{k}^{2}}$，y_B-y_A=-k（x_B-1）-k（x_A-1）=$\frac{8k}{2+{k}^{2}}$，
∴直線AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\sqrt{2}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率為定值的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．