Question

18．若${\vec e_1}$，${\vec e_2}$是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則$\vec a$=2${\vec e_1}$+${\vec e_2}$；$\vec b$=-3${\vec e_1}$+2${\vec e_2}$的夾角為（　�。�

• A． 60°
• B． 30°
• C． 150°
• D． 120°

Answer 1

分析 由條件即可得到$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=\frac{1}{2}$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）$，及${\overrightarrow{a}}^{2}=（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}，{\overrightarrow}^{2}=（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}$的值，從而根據(jù)$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$即可求出cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值，從而得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角．

解答 解：根據(jù)條件，$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）$
=$-6{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+2{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$
=$-6+\frac{1}{2}+2$
=$-\frac{7}{2}$；
${\overrightarrow{a}}^{2}=（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}$=$4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=4+2+1，${\overrightarrow}^{2}=（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}$=$9{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=9-6+4=7；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$
=$\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}$
=$-\frac{1}{2}$；
又$0°≤\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞≤180°$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為120°．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查單位向量的概念，向量夾角的概念及范圍，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量夾角的余弦公式，已知三角函數(shù)求角．