Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x+ae^-x的導函數(shù)f′（x）是偶函數(shù)，若|f（x）|≥mx，則m的取值范圍是[-2，2]．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性求出a的值，求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)導數(shù)的最小值，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=e^x-ae^-x，
∵f′（x）是偶函數(shù)，
∴f′（-x）=f′（x），
即e^-x-ae^x=e^x-ae^-x，
即e^x-e^-x=-a（e^x-e^-x），
則-a=1，a=-1，
即函數(shù)f（x）=e^x-e^-x，
f′（x）=e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，當且僅當e^x=e^-x，即x=0時取等號，
即當x≥0時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，且過原點的切線斜率最小為2，
要使|f（x）|≥mx，則-2≤m≤2，
故答案為：[-2，2]

點評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題，利用函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，求出a的值，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．