Question

已知函數(shù)，x∈[-1，t]（t＞-1）．
（Ⅰ）當(dāng)t=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)．記方程f'（x）=g（t）的解為x，x∈（-1，t），就t的取值情況討論x的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到f'（x）=x²-2x=x（x-2），可得出當(dāng)t=3時(shí)，f（x）在（-1，0），（2，3）上遞增，在（0，2）上遞減，由此函數(shù)的最值與單調(diào)區(qū)間易求得；
（II）解法一：由題意函數(shù)．記方程f'（x）=g（t），可得出，由于方程f'（x）=g（t）的解為x，x∈（-1，t），故可構(gòu)造函數(shù)在x∈（-1，t），分類(lèi)討論x的個(gè)數(shù)；
解法二：可作出兩函數(shù)f'（x）=x²-2x與的圖象，由圖象對(duì)t的取值范圍分類(lèi)討論得出每一種情況下兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到x的個(gè)數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=x²-2x=x（x-2）…（1分）
由f'（x）＞0⇒x＞2或x＜0；由f'（x）＜0⇒0＜x＜2，
所以當(dāng)t=3時(shí)，f（x）在（-1，0），（2，3）上遞增，在（0，2）上遞減  …（3分）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224945267466395/SYS201311012249452674663021_DA/4.png">，f（0）=3，，f（3）=3，
所以當(dāng)x=-1或2時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值，…（5分）
當(dāng)x=0或3時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值f（0）=3，…（6分）
（Ⅱ）解法1：因?yàn)閒'（x）=x²-2x，所以，
令，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224945267466395/SYS201311012249452674663021_DA/9.png">，，…（9分）
所以①當(dāng)t＞5或-1＜t＜2時(shí)，p（-2）•p（t）＜0，所以p（x）=0在（-2，t）上有且只有一解…（11分）
②當(dāng)2＜t＜5時(shí)，p（-2）＞0且p（t）＞0，但由于，
所以p（x）=0在（-2，t）上有兩解       …（13分）
③當(dāng)t=2時(shí)，p（x）=x²-2x=0⇒x=0或x=2，所以p（x）=0在（-2，t）上有且只有一解x=0；
當(dāng)t=5時(shí)，p（x）=x²-2x-3=0⇒x=-1或x=3，
所以p（x）=0在（-1，5）上也有且只有一解x=3…（14分）
綜上所述，當(dāng)t≥5或-1＜t≤2時(shí)，有唯一的x適合題意；當(dāng)2＜t＜5時(shí)，有兩個(gè)x適合題意．…（15分）
解法2：畫(huà)出f'（x）=x²-2x與的圖象，
（1）當(dāng)-1＜t≤0時(shí)，兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)，有唯一的x適合題意；-------------（8分）
（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，，此時(shí)兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)，有唯一的x適合題意；-------------（10分）
（3）當(dāng)2＜t＜5時(shí)，因?yàn)閒'（-1）=f'（3）=3，得到t₁=-1，t₂=5，，此時(shí)兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，有兩個(gè)x適合題意；------（12分）
（4）當(dāng)t=2或t=5時(shí)，當(dāng)t=2時(shí)，p（x）=x²-2x=0⇒x=0或x=2，所以p（x）=0在（-2，t）上有且只有一解x=0；
當(dāng)t=5時(shí)，p（x）=x²-2x-3=0⇒x=-1或x=3，
此時(shí)兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，有兩個(gè)x適合題意；---------------------（14分）
綜上所述，當(dāng)t≥5或-1＜t≤2時(shí)，有唯一的x適合題意；
當(dāng)2＜t＜5時(shí)，有兩個(gè)x適合題意．…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了求導(dǎo)的運(yùn)算，由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，方程的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程相應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系解題的關(guān)鍵是理解題意靈活利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求最值，研究單調(diào)性，本題解題的難點(diǎn)在第二小題，由于t的取值范圍不同，方程的根的個(gè)數(shù)不同，故采取了分類(lèi)討論的方法，本題考查了分類(lèi)討論的思想，轉(zhuǎn)化的思想，及推理判斷的能力，計(jì)算能力，本題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，易出錯(cuò)，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)．